Kliping tentang Himpunan | nurainins

HIMPUNAN

A.  Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda dan unsur-unsur yang di definisikan dengan jelas dan juga diberi batasan tertentu.

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter.

Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain bukan merupakan himpunan, misalnya:

a. Kumpulan makanan enak.

b. Kumpulan wanita cantik.

c. Kumpulan lukisan indah.

d. Kumpulan pria tampan.

e. Kumpulan makanan basi, dan lain-lain.

B.  Notasi dan Keanggotaan Himpunan

Dalam menyatakan atau penulisan sebuah himpunan umumnya terdapat beberapa ketentuan yaitu:

Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya                        A, B, C, … Z.                                                                                                             Adapun benda/objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {}.  

Lambang bukan anggota himpunan/bukan elemen ditulis ∉.     

Banyak anggota suatu himounan A ditulis dengan notasi n(A).    

Masing-masing anggota himpunan dipisahkan dengan tanda koma (…,…) Sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil.

Tiap-tiap objek ataupun benda yang berada di dalam kurung kurawal adalah anggota dari himpunan tersebut. Anggota himpunan biasa disebut juga sebagai elemen yang dinotasikan dengan lambang ∈. Sedangkan objek-objek ataupun benda yang tidak termasuk kedalam suatu himpunan dapat dianggap bukan anggota dari himpunan tersebut dan biasanya dinotasikan dengan lambang ∉.

Jumlah anggota dari suatu himpunan basanya dinyatakan sebagai n.                       Apabila C = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11} maka banyaknya anggota himpunan B dituliskan sebagai n(C) = 8.

Ø  Contoh

A={1, 3, 5, 7, 9}     

1 anggota A ditulis 1∈ A        

5 anggota 5∈ A        

2 bukan anggota A ditulis 2∉A             

Banyak anggota A ada 5 sehingga ditulis n(A) =

C. Menyatakan Himpunan

v  Menyatakan Himpunan dengan notasi pembentuk himpunan:

Notasi pembentuk Himpunan adalah menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan, dalam penulisannya berbentuk “{x|x…}”

Ø  Contoh

1.    Nyatakan Himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan notasi pembentuk himpunan!

A = {x|x bilangan cacah kurang dari 6} atau

A = {x|x <6, x bilangan cacah} dibaca;   

“A adalah himpunan X, dengan X kurang dari 6 dan X adalah bilangan cacah”

2.    Nyatakan himpunan B = {2, 4, 6, 8, 10} dengan notasi pembentuk himpunan!

Jawaban =      

B = {y|y bilangan asli genap kurang dari 12} atau     

B = {y|1 <y <11, y bilangan asli genap} atau        

B = {y|2≤ y≤ 10, y bilangan asli genap}

v  Menyatakan Himpunan dengan kata-kata (deskripsi)

Ø  Contoh

A = { bilangan cacah kurang dari 30 }

B = { nama-nama hari dalam satu minggu}

C = { bilangan asli antara 6 sampai 20 }

v  Menyatakan Himpunan dengan menyebutkan anggotanya (tabulasi)

Dengan cara elemen/anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal dan masing-masing anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan menggunakan tanda koma.

Ø  Contoh

A = { senin,selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu }, untuk himpunan yang anggotanya sedikit atau terbatas.

B = { Banyumanik, Candisari, Gayamsari, Pedurungan, Semarang     

Selatan, ....., Tembalang }, untuk meyatakan himpunan yang jumlah anggotanya banyak tetapi terbatas.

C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..... }, untuk meyatakan himpunan yang jumlah anggotanya banyak serta tidak terbatas.

D.  Jenis-jenis Himpunan

1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan yaitu himpunan yang memuat semua anggota ataupun objek himpunan yang dibicarakan.

Himpunan semesta (semesta pembicaraan) umumnya dilambangkan dengan S atau U.

Misalnya, membahas mengenai 1, ½, -2, -½,… maka semesta pembicaraan kita yaitu bilangan nyata.

Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan.

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan {} atau ∅. Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai l anggota, yaitu nol (0).

3. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A ⊂ B atau B ⊂ A.

Jika ada himpunan A dan B di mana setiap anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A ⊂ B.

Jadi, A ⊂ B jika dan hanya jika x ⊂ A ⇒  x ⊂ B
Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B, maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A ⊂ B.

4. Himpunan Ekuivalen

Dua buah himpunan dikatakan ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama.

Contoh :                                                                                                 Diketahui himpunan A = { a, b, c, d, e, f } dan himpunan    

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Apakah kedua himpunan tersebut ekuivalen ?

Penyelesaian :

Karena jumlah anggota dari masing-masing himpunan A dan B adalah sama yaitu 6 walaupun anggotanya tidak sama, himpunan A ekuivalen dengan himpunan B ( A~Q )

5. Himpunan Saling Lepas

Dua buah himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai satupun anggota yang sama.

Contoh :

Himpunan A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

Himpunan B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

Himpunan A dan Himpunan B dikatakan saling lepas ( A // B ) karena tidak ada anggota yang sama antara himpunan A dan himpunan B.

E.  Operasi Himpunan

1.    Irisan (Interseksi)           

A      B dibaca ‘A irisan ‘B

2.    Union (Gabungan)             

A      B dibaca ‘A gabungan ‘B

3.    Diagram Venn            

Irisan =                                            Gabungan =

Ø  Contoh

A = {Kelipatan 2 kurang dari 12}   

B = {Bilangan Prima kurang dari 10}

Tentukan =

1.    A     B  

A = { 2, 4, 6, 8, 10 }    

B = { 2, 3, 5, 7 }

2.    A     B        

= { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 }

3.    Diagram Venn      

F.  Selisih (Difference)

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A, tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B adalah sebagai berikut.

A – B = { x|x ∈ A atau x ∉B } 

B – A = { x|x ∈ B atau x ∉A }

Ø  Contoh

Diketahui:                

A = {x 10< x <15, x ∈ bilangan prima}    

A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13 }                                                                     

B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

Tentukan =            

a. A – B = { 5, 7, 11, 13 }          

b. B – A = { 1, 4, 6, 12 }

G. Komplemen Himpunan

Komplemen Himpunan A adalah semua himpunan yang anggota-anggotanya merupkan anggota S yang bukan A. Dengan notasi himpunan dapat ditulis:

A’ = {x|x ∉ A dan x ∈ S}

Ø  Contoh

Diketahui:            

S = {x | x < 10, x Î bilangan cacah} 

A = {1, 3, 5, 7, 9}
Tentukan = komplemen dari A (A’).

Penyelesaian:
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; A = {1, 3, 5, 7, 9}
Semua anggota S yang bukan anggota A membentuk satu himpunan yaitu

{0, 2, 4, 6, 8}

Jadi, komplemen himpunan A adalah A’ ={0, 2, 4, 6, 8}.

image : sciencenews